Gini coefficient三种计算方法

看到kaggle的某个比赛评价指标是normalized gini coefficient，我不确定这和我理解的gini coefficient是同一个东西，于是我进行了一番googling，最终发现这个normalized  gini coefficient就是我以往知晓的gini coefficient，并且让我对gini coefficient的理解更上一层楼。
下面归纳一下三个角度对gini coefficient的理解以及与之对应的三种计算方法。

1. gini coefficient第一种计算方法其实本质就和AUC的计算方法一致，只是X轴和Y轴互换，图像相对于y = x对称，如图：

这里的bad和good是credit risk领域的概念，对应positive和negative，observations已经按照prediction probability从高到低排序， cumulative bad %实际上就是TPR，cumulative good %就是FPR，gini coefficient = A/(A+B) = A/0.5 = 2A，不难得到2AUC - 1 = Gini coefficient

2. 第二种计算方式和理解角度与kaggle，以及我前同事的计算方式是一致的（但当时我并没能理解）。observations的probability按照从小到大排序，X轴就是proportion，从0到100%，y轴是actual value的加和cumulative share，如图：

这是Predictions rank order后产生的图，橘色部分面积A
实际的actual value也可以看成probability进行排序，所以理论的最大阴影面积并不是0.5，

这是理论上理论上最大的gini，图中橘色部分面积B，gini coefficient = A/B

3. 第三种理解角度和计算方式，probabilities从高到低排序，比如有15个observations

此时要用类似于冒泡排序的方法，如上图的推演，10次后可以把好坏进行rank order，再考虑从一个随机的状态平均需要多少次才能把好坏rank order？6个bad，9个good，每个bad平均需要9/2次交换才能得到rank order的理想状态，6*(9/2) = 27，而gini = (27-10)/27也就是从一个random state到state (1)需要17次swap，除以从随机状态到理想状态的平均次数27次得到gini coefficient

所以，kaggle上提到的normalized gini coefficient就是按照第二种思路，他认为阴影面积(橘色部分)就是gini coefficient，然后第二幅图是理论的最大gini coefficient，prediction除以理论最大得到的相当于normalization到0-1区间，其实我觉得kaggle的这种说法欠妥，我查的资料，包括wiki的资料gini coefficient又名gini ratio，本来就是一个0-1的值。

另外，补充一下，去网络上搜索gini coefficient的概念，最多的是经济学的解释，按照收入从低到高排序，X轴是cumulative share，Y轴是income的cumulative share，如图：

A/(A+B)就是gini coefficient，从经济学到我们数据挖掘这个领域的问题，只能说类似，从上面的解释不难看出，已经存在一些变化。