direct multi-step forecast和recursive multi-step forecast， ARIMA进行多步预测

时间序列预测主要涉及到两种多步预测方法，分别是recursive multi-step forecast和direct multi-step forecast。

ARIMA进行多步预测采取的是recursive multi-step forecast。

ARIMA理论上讲只适合单步预测。

recursive multi-step forecast：

下面讲解Recursive Multi-Step Forecast的预测过程，假设存在时间序列历史数据y[i],i=0,1,2,…,t，使用这些数据拟合得到模型记为Model，Recursive Multi-Step Forecast的预测步骤如下：

1.       进行单步预测，预测y[t+1]的值，得到预测值yhat[t+1]

2.       把预测值作为真值，令y[t+1] = yhat[t+1]，那么残差e[t+1]=0

3.       y[t+1]带入Model得到yhat[t+2]（即单步预测），形如

yhat[t+2] = Model(y[t+1],y[t],y[t-1],y[t-2],y[t-3],e[t+1],e[t],e[t-1])

4.       迭代第2步到第3步最终得到未来6个step的数据，y[t+1]\ y[t+2]\ y[t+3]\ y[t+4]\ y[t+5]\ y[t+6]

这种预测方式存在两个问题：

1.       直接的误差累加，把预测值作为真值造成了直接的误差累加

2.       SARIMA中MA(Moving Average)项、甚至SMA(Seasonal Moving Average)项未能起作用，因为预测值作为真值，使得残差e[i] = 0

direct multi-step forecast：

比如还是预测未来6个step，direct multi-step forecast会直接建立6个模型，6个模型分别预测t+1\t+2\...\t+6，这就相当于把时序数据组织成表格形式，每一行就是观察点和表现期的概念，t月1日 观测t+2月的表现，机器学习模型常常使用direct multi-step forecast的方式

参考资料：

https://machinelearningmastery.com/multi-step-time-series-forecasting/

https://stats.stackexchange.com/questions/346714/forecasting-several-periods-with-machine-learning

https://stats.stackexchange.com/questions/352840/multistep-prediction-interval-for-armap-q-process