Tweedie分布和Tweedie损失函数

广义上，Tweedie分布是一系列分布的合集，它有一个重要的power参数p确定了具体是哪一个分布（0 < p < 1的时候没有分布）。

方差和期望存在一种关系：

μ是期望，p是power参数，φ是衰减系数，在一些讨论中，我发现说tweedie分布更多是1 < p < 2的情况，也就是poisson和gamma的混合分布，我称其为狭义的tweedie分布。

当p = 0的时候，normal的方差等于φ，就是自己定义的。

当p = 1的时候，φ要求等于1，poisson分布中期望等于方差

当1 < p < 2的时候，φ自己定义，方差如上面的公式

当p = 2的时候，同1 < p < 2的情形。

狭义tweedie分布，形如：

sample size 100000，p = 1.5，μ = 500，φ = 50，这就类似于商场购物金额的分布，平均是买500的东西，但是大部分人都只是window shopping，他们的购物金额是0，狭义tweedie分布的特点就是很多value集中在0。在信贷领域中，额度使用和违约损失也比较符合tweedie分布。

tweedie损失函数：

对于狭义的tweedie分布，其PDF为：

对PDF计算其负对数似然函数：

我们做拟合其实就是估计yi的μi，换成y写作：

看一下这个损失函数是否可以表示损失，当p=1.5的时候，yi_hat = yi，才能取得极小值，所以可以表征损失。

要从PDF推导到负对数似然函数，还需要一个假设，每个yi都是独立同分布的，p和φ都是一样，推出损失函数后，φ不需要关心，但是p需要用先验知识设置。